雨滴落下速度の式変換

mの置き換え理由は?

KSさん(2013/06/25)

降水過程での雨滴の落下速度の質問です。

Hxx年度第1回、問5です。

mg=ρV2πr2Cd/2 の式の変形で

V2=mg/(ρπr2Cd/2) として

落下速度Vの2乗は、雨滴の半径rの2乗に反比例する。

と考えるのはなぜ間違いなのですか。


一見良さそうですが、比例(反比例)というためには、 Vとr以外の文字はすべて、計算の途中で数値が変わらない「定数」でなければなりません。

しかし、水滴の質量m は定数ではなく、 半径r によって数値が変化する変数です。

水滴の半径が大きくなれば、水滴の質量も大きくなってしまいますからね。

だから、m を消して、 r との関係を式の中で表現しなければならないのです。



実際の問題はこうでした。

(丸数字はパソコンの機種によっては文字化けするので[1]と記載します)

直径1mm程度の雨滴の落下速度(終端速度)について述べた次の文章の空欄()を埋める数値として正しいものを、下記の[1]~[5]の中から選べ。



空気中を落下する雨滴の落下速度は、

   雨滴に働く重力(mg)と

  逆向きに働く抵抗力(ρV2πr2Cd/2) との釣り合いを表す次式から求められる。

    mg=ρV2πr2Cd/2

ここで、mは雨滴の質量、 rは雨滴の半径、 Vは落下速度、 Cdは空気の抵抗係数 gは重力加速度、 ρは空気の密度である。

この式を使って大きさの異なる雨滴の落下速度を比較すると、雨滴の半径が2倍になったときの雨滴の落下速度は約(   )倍になる。ただし、空気の密度、重力加速度、空気の抵抗係数は一定とする。

[1]0.5  [2]0.7  [3]1.4  [4]2  [5]4

与えれた式を変形して、KSさんと同じ形にします。

そこで、V2=mg/(ρπr2Cd/2)に m=ρ(4/3)πr3 を代入すると

 V2=(4/3)πr3ρg/(ρπr2Cd/2)

   =(8/3)(2/Cd)gr ここで、定数A=(8/3)(2/Cd)g とおくと

  V2=Ar

Vとr以外はすべて定数になりますから、 Vの2乗はr に比例すると言えるようになります。

もっと分かりやすい表現なら、V はr のルートに比例するとなります。

したがって正解は、√2に相当する[3]1.4になります。


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