絶対角運動量とは？

[かにき]

こんばんは。一般気象学のp.240の絶対角運動量についてご質問させてください。

(単位質量の)絶対角運動量＝r^2Ωsinφ+rv

右辺第2項は、台風中心から半径rの地点の空気塊の接線速度vを持つことによる角運動量を表しています。
ここで、vは地球に相対的な速度であり宇宙から見た速度はこれにさらに地球自転分を足さなければならないという趣旨だと思います。
地球半径をRとすれば、緯度φにおける地球半径はRsinφなので、その速度はRΩsinφで、それによる角運動量はR^2Ωsinφとなるのではないでしょうか？

なぜ、絶対角運動量＝R^2Ωsinφ+rv　ではなくて　r^2Ωsinφ+rv　となるのでしょうか。絶対角運動量で調べて色々なサイトを見てもこのあたりの説明が見当たりませんでした。

[かにき]

なんかいろいろ式が間違えてますね・・・泣

[ていねんまじか]

かにきさん，こんにちは。
まだ、気象の勉強を初めて2週間で、一般気象学もそこまで読み進められていませんが、コメントがつかないようなのでひとこと。
といっても、理系出身というだけで、物理の素養があるわけではないので、説明自体の誤りはご容赦ください。あくまで、私はこう理解して納得したというストーリーに過ぎません。

まず、空気塊の角速度という焦点からブレないようにします。角速度ですから回転軸を定める必要があり、ここでは回転運動の中心軸をとります。
この軸が動かないのであれば、慣性系の運動として、空気塊の単位質量あたりの角運動量は単純にrvとなります。ところが、地球の自転によってこの軸には角速度が伴っており、保存則のためにはこれを考慮しなければなりません。地球の自転角速度はΩですが、緯度φにおける上記回転中心軸の角速度成分はΩsinφとなります。
そして、この角速度を考慮したうえでの、中心軸慣性系からみた空気塊の線速度はrΩsinφとなり、運動量はこれにrを乗じたr^2Ωsinφとなるという道筋です。
かにきさんが気にされたRは、地球の回転軸に対する、空気塊円運動中心の角運動量という見方をする場合には登場してくると思いますが、空気塊の円運動については別物という考え方となります。
正しい/正しくないは別として、考え方の視点として参考になれば幸いです。

[かにき]

ていねんまじかさん、解説ありがとうございます。

軸を固定する、いちばん大事ですねこれ。私は低気圧や台風中心の軸と地軸を混ぜて考えていたために変なことをしていました・・・。地表上に軸(というか基準点)を固定して考え直しました。

===以下、ていねんまじかさんのご回答、および角運動量に関して調べて考え直した、私の理解のプロセス(空気塊の位置を基準点の真南とした場合)===

地球に対して静止している空気塊(v=0)を考えれば、絶対角運動量はr²Ωsinφである。ここで地球上の緯度φのある地点に軸を固定すると、地上にいる我々から見た角運動量は冒頭の仮定によってrv=0であるが、保存則を考えるためには宇宙の固定点から見る必要がある。今、軸も空気塊も地球に対して静止しているから宇宙から見た速度はそれぞれの点の自転速度に等しく、軸の速度はv1=RΩcosφ、そこからrだけ真南に離れた地点にある空気塊の速度は、r/Rが十分に小さく、緯度の変化量が微小量Δφであるとすると、v2=RΩcos(φ-Δφ)。ここで緯度の差ΔφはRΔφ=rを満たし、
v2＝RΩcos(φ-Δφ)＝RΩ(cosφcosΔφ+sinφsinΔφ)≒RΩ(cosφ+Δφsinφ)

軸に対する空気塊の相対速度v2-v1=-RΩΔφsinφであり、RΔφ=rを代入してv2-v1=rΩsinφ。
この相対速度は、軸の周りと反時計回りに回転する向きだからその角運動量はr×rΩsinφ＝r²Ωsinφを得る。
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純粋な南北方向にいる場合が、自転速度の差が角運動量を生むので一番わかりやすいですが、純粋な東西方向にいる場合も自転速度差はないもののその(緯線は丸いので)方向に差が生じるのでやはり角速度を生じて計算するとr²Ωsinφを得ました。勝手にrがRに対して十分小さい等の仮定を置いているので正しいかわかりませんが、イメージは自分の中にできました。ありがとうございました。

[かにき]

とはいえ、イメージはできても公式として暗記する必要はあって、暗記するうえでは、ていねんまじかさんの解説が簡潔で理解しやすいので、そのイメージでr²Ωsinφを覚えます。

[投稿者]

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